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2020年8月18日火曜日

Asgeirssonの平均値定理

Waves And Distributions
https://core.ac.uk/download/pdf/82741918.pdf
https://en.wikipedia.org/wiki/Ultrahyperbolic_equation
Integral Geometry and Radon Transforms
Geometric Analysis on Symmetric Spaces
Lie Group Representations III
https://en.wikipedia.org/wiki/Leifur_%C3%81sgeirsson

このエントリーは、超双曲型方程式についてのLeifur Ásgeirssonの平均値定理(Mean Value Theorem)に関する解説記事である。

概要:最初に超双曲型方程式が紹介され、ついでÁsgeirssonの平均値定理が示される。この定理を用いて波動方程式の明示解が偶数の場合と奇数の場合に分けて導出される。

2020年8月16日日曜日

アーベルの積分方程式

https://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Abel_integral_equation

このエントリーは、アーベルの積分方程式についての解説記事である。この解法は、Asgeirssonの平均値定理を使った波動方程式の解法に役立てられることになる。

概要:アーベルの積分方程式が最初に示され、その解(「反転(inversion)」とも呼ばれる)が導出される。その際にライプニッツの積分ルールが参照される。

2020年8月11日火曜日

波動方程式の解

http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/labo/ns/fujitapde2.pdf
http://www.math.ualberta.ca/~xinweiyu/527.1.08f/lec17.pdf
https://users.math.msu.edu/users/yanb/847ch4.pdf
 

このエントリーは、n=1、3の場合における波動方程式の解についての解説記事である。岩波講座「数理物理に現れる偏微分方程式II」の第6章に依拠するが、n=1からn=3(一般の場合含む)への移行ではXinwei Yuのエレガントな導出を参考にする。

概要:n=1のとき、ダランベールの方法により波動方程式が標準型に直され、そこからの二段階の積分により解(ストークスの公式)が求められる。n=3の場合は最初に平均値関数が与えられ、これを半径と時間の関数としてみたときにn=1の波動方程式を満たすことが示され、そこから\( r \to 0\)の極限をとることで一般解(キルヒホッフの公式)が構成される。n=2の場合(ポアソンの公式)は、アダマールの降下法によりn=3から導出される。

2020年7月28日火曜日

調和関数の計算例

https://mathworld.wolfram.com/HarmonicFunction.html
https://math.mit.edu/~jorloff/18.04/notes/topic4.pdf

このエントリーは、いくつかの二次元調和関数の例について、平均値特性(Mean Value Property)を確かめる計算する。

概要:最初に調和関数を探す方法を述べ、3つの関数が調和関数であることを確かめる。それぞれにつき平均値特性を確かめる。積分の計算にあたっては、実数のままでは困難な場合があり、複素解析におけるコーシーの積分公式を用いて積分評価を行う。

\[
u(x,y)=\frac{x-a}{(x-a)^{2}+y^{2}}
\]
\[
u(x,y)=\tan^{-1}\left( \frac{y-b}{x-a} \right)
\]
\[
u(x,y)=e^{y} \cos x
\]

調和関数の平均値特性

Harmonic function - Wikipedia
http://web.math.ucsb.edu/~cmart07/Harmonic%20functions.pdf
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/EMIS/journals/AMUC/_inpress/_symeonidis/symeonidisrea.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=p60dU_62KcQ&list=PLGCj8f6sgswntUil8yzohR_qazOfYZCg_&index=50
The Heat Kernel on Hyperbolic Space
https://math.nyu.edu/faculty/tabak/PDEs/The_Wave_Equation.pdf
https://www.rs.tus.ac.jp/nikuni/elemag/elemagnotes1.pdf

このエントリーは、調和関数についての平均値特性(Mean Value Property)に関する解説記事である。

概要:最初に調和関数がラプラス方程式の解として紹介される。次に平均値特性が示され、証明の例が二つ与えられる。最後に双曲空間における平均値作用素が示され、ユークリッド空間におけるそれとの類似性が示唆される。