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2017年12月4日月曜日

【数学】連続性と微分可能性



連続とはどういうことか


ここに連続性の意味。
まずは連続性の定義。

連続

x0と、それとは別のx0に無限に近い任意のxについて、右式が成立するとき、fはx0において「連続である」という。
\[
f(\boldsymbol{x}_{0}) \simeq f(\boldsymbol{x})
\]


上の関係を、次のように表現することもある。

\[
\lim_{\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{x}_{0}} f(\boldsymbol{x}) = f(\boldsymbol{x}_{0})
\]





連続、微分可能、一様微分可能、滑らか

点xにおいて(全)微分が存在するとき、関数fは「(全)微分可能」と呼ばれる。この状態と完全に区別される「一様微分可能」、「滑らか」という状態をこれから考える。そのために、「微分可能」をもう少し正確に表現してみる。

微分可能

0でない任意の無限小ベクトルΔxに対して、

\[
f(\boldsymbol{x}_{0} + \Delta \boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x}_{0}) \simeq \boldsymbol{m} \cdot \Delta \boldsymbol{x} \;\;\; (|\Delta \boldsymbol{x}| に比べて)
\]

なる実ベクトルmが存在するならば、fはx0において「微分可能である」という。
これは微分の定義(1)を(正確に)書き直したものに過ぎない。

次にx0に無限に近い別の点x1を考え、そこでもmが存在するかどうかを考える。これが「一様微分可能」の考え方である。
一様微分可能

x0に無限に近い任意のxにおいて、0でない任意の無限小ベクトルΔxに対して、

\[
f(\boldsymbol{x} + \Delta \boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x}) \simeq \boldsymbol{m} \cdot \Delta \boldsymbol{x} \;\;\; (|\Delta \boldsymbol{x}| に比べて)
\]

なる実ベクトルmが存在するならば、fはx0において「一様微分可能である」という。

一様微分可能を、連続性の観点から考察してみる。


連続性の概念を利用して、次のような関数を考察。

\[
g(\boldsymbol{x}) = \frac{f(\boldsymbol{x} + \Delta \boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x})}{|\Delta \boldsymbol{x}|}
\]

「一様微分可能」とは、g(x)がx0において連続である、と主張することに外ならない。単なる「微分可能」の場合は、このような連続性は想定されていない(つまり、「一様微分可能」は「微分可能」よりも強い条件)。

最後に「滑らかである」とは。

滑らか

偏導関数

\[
\nabla f(\boldsymbol{x}) = \left( \begin{array}{c} \partial / \partial x_{1} \\ \partial / \partial x_{2} \\ \vdots \\ \partial / \partial x_{n} \end{array} \right) f(\boldsymbol{x})
\]

がx0において連続ならば、fはx0において「滑らかである」という。

言い換えると、

x0と、それとは別のx0に無限に近い任意のxについて

\[
\nabla f(\boldsymbol{x}_{0}) \simeq \nabla f(\boldsymbol{x})
\]

が成立している。

以上の諸条件を強い順に並べると、

「滑らか」→「一様微分可能」→「微分可能」→「連続」

となる。