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2016年11月3日木曜日

【数学】 無限小解析の世界(その3)

前回は無限小超実数、有限超実数、無限大超実数の間の演算と性質をまとめてみた。また、問題を幾つか。


問題1.H、Kを無限大とする。次の量はa)無限小、b)無限小でない有限、c)無限大のいずれであるか判定せよ。c以外の場合、その標準部分を求めよ。

\[
A = \frac{H-K}{H^{2}+K^{2}}
\]

分子は無限大から無限大を差し引いているので悩ましく思うかもしれないが、分子の次数が1次、分母2次であることに着目すれば・・・



解答1.

\[
A = \frac{H}{H^{2}+K^{2}} - \frac{K}{H^{2}+K^{2}}
\]
\[
= \frac{1}{H+\frac{K^{2}}{H}} - \frac{1}{\frac{H^{2}}{K}+K}
\]

ここで、次の値は無限大超実数である。
\[
H+\frac{K^{2}}{H}
\]
何故かと言えば、第一項は無限大であることが問題によって与えられている。第二項が仮に有限であれば、全体としては無限大になっている。第二項が無限大である場合、第一項と第二項の符号は揃っている。だからやはり全体は無限大である。

無限大の逆数は無限小であると分かっている。なので、

\[
\mbox{st}(A) = \mbox{st}\left(\frac{H}{H^{2}+K^{2}}\right) - \mbox{st}\left(\frac{K}{H^{2}+K^{2}}\right)=0
\]

これより判定はa)。標準部分は0である。

問題2.H、Kを無限大とする。次の量はa)無限小、b)無限小でない有限、c)無限大のいずれであるか判定せよ。・・・

\[
B = \frac{H+K}{\sqrt{H^{2}+K^{2}}}
\]

問題1によく似ているが・・・

解答2.

\[
B = \sqrt{\frac{H^{2}+K^{2}+2HK}{H^{2}+K^{2}}} = \sqrt{1+\frac{2HK}{H^{2}+K^{2}}}
\]
\[
= \sqrt{1+\frac{2}{\frac{H}{K}+\frac{K}{H}}}
\]
ここで次の値に注目する。
\[
\frac{H}{K}+\frac{K}{H}
\]
この値は、もしH/Kが無限大であれば、全体として無限大である。またH/Kが無限小であれば、やはり全体として無限大である。しかし、もしH/Kが有限であれば、全体も有限となる。

・・・ということはBは全体として有限超実数であると言える。ただし、その標準部分は確定しない。

判定はb)。

問題3.Hを正の無限大とする(H>0)。次の量はa)無限小、b)無限小でない有限、c)無限大のいずれであるか判定せよ。c以外の場合、その標準部分を求めよ。

\[
C = 2H \left(\sqrt{1+\frac{1}{H}} - 1 \right)
\]

解答3.

\[
C = 2H \frac{\left(\sqrt{1+\frac{1}{H}} - 1 \right)\left(\sqrt{1+\frac{1}{H}} + 1 \right)}{\left(\sqrt{1+\frac{1}{H}} + 1 \right)}
\]
\[
= \frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{H}} + 1}
\]
\[
\mbox{st}(C) = 1
\]
判定はb)。標準部分は1。

問題4.ε、δを無限小とする。次の量はa)無限小、b)無限小でない有限、c)無限大のいずれであるか判定せよ。・・・

\[
A = \frac{\epsilon+\delta}{\sqrt{\epsilon^{2}+\delta^{2}}}
\]

解答4.

ほぼ解答4と同じ。

\[
A = \sqrt{\frac{\epsilon^{2}+\delta^{2}+2\epsilon \delta}{\epsilon^{2}+\delta^{2}}} = \sqrt{1+\frac{2\epsilon \delta}{\epsilon^{2}+\delta^{2}}}
\]
\[
= \sqrt{1+\frac{2}{\frac{\epsilon}{\delta}+\frac{\delta}{\epsilon}}}
\]
ここで次の値に注目する。
\[
\frac{\epsilon}{\delta}+\frac{\delta}{\epsilon}
\]
この値は、もしε/δが無限大であれば、全体として無限大である。またε/δが無限小であれば、やはり全体として無限大である。しかし、もしε/δが有限であれば、全体も有限となる。

・・・ということはBは全体として有限超実数であると言える。ただし、その標準部分は確定しない。

判定はb)。

問題5.Hを正の無限大とする(H>0)。次の量はa)無限小、b)無限小でない有限、c)無限大のいずれであるか判定せよ。c以外の場合、その標準部分を求めよ。

\[
B = \frac{\sqrt{H+1}}{\sqrt{2H}+\sqrt{H-1}}
\]

解答5.

これはそれほど難しくない。

\[
B = \frac{\sqrt{1+\frac{1}{H}}}{\sqrt{2}+\sqrt{1-\frac{1}{H}}}
\]
\[
\mbox{st}(B) = \frac{1}{\sqrt{2}+1} = \sqrt{2} - 1
\]
判定はb)。標準部分は√2-1。

問題6.Hを正の無限大とする(H>0)。次の量はa)無限小、b)無限小でない有限、c)無限大のいずれであるか判定せよ。c以外の場合、その標準部分を求めよ。

\[
C = H \left( \sqrt{H^{2}+4} - H \right)
\]

解答6.

\[
C = H \frac{\left( \sqrt{H^{2}+4} - H \right)\left( \sqrt{H^{2}+4} + H \right)}{\left( \sqrt{H^{2}+4} + H \right)}
\]
\[
= \frac{4H}{\sqrt{H^{2}+4} + H} = \frac{4}{\sqrt{1+\frac{4}{H^{2}}}+1}
\]

\[
\mbox{st}(C) = 2
\]
判定はb)。標準部分は2。

今回はここまでにしよう。

次回は、超実数と実数の関係を扱う。「標準部分」という概念が重要である。