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2013年2月25日月曜日

ランベルトのW関数

ランベルトのW関数 - Wikipedia

やあ、みんな。

Lagrange Inversion Theoremの応用例の一つとしてランベルトのW関数を取り上げるよ。

\[
W(x)e^{W(x)} = x
\]

上のWikipediaのリンクを参考にしてね。この中では、W関数の展開について、LITによる、としか書いてないので、もう少し詳しく解説するよ。

Lanbert's W function in Maple

上のPDFファイルも参考にしてね。


LITとの関係

もしもこんな関係があったとする。
\[
xf(g(x)) = g(x)
\]
すると、
\[
\phi(x) = \frac{x}{f(x)}
\]
と置くことによって、
\[
\phi(g(x)) = \frac{g(x)}{f(g(x))} = x
\]
となる。つまり、φとgはcomposition inverseの関係にあるんだね。だから、gを具体的に求めるためにLITが使えるわけ。

W関数の場合は、
\[
g(x) = W(x), \; f(x)=e^{-x}
\]
とすれば、うまく定義どおりになることが分かるね。

実際に計算してみる

LITを使って具体的に計算してみよう。

\[
k[x^{k}] W(x) = [x^{k-1}] \left( \frac{x}{\phi(x)} \right)^{(k)} = [x^{k-1}] f(x)^{(k)} = [x^{k-1}]e^{-(k)x}
\]

結構、簡単な式になったね。(k)は添え字じゃない(動かさない)ことを示すために付けたので、最後にはkに直すよ。続きを計算してみる。

まずexp(-(k)x)のテイラー展開は、
\[
e^{-(k)x} = \sum_{i=0}^{\infty} \left( \frac{d^{i}}{dx^{i} } e^{-(k)x} \right)_{x \to 0} \frac{x^{i}}{i!} = \sum_{i=0}^{\infty} (-(k))^{i} \frac{x^{i}}{i!}
\]
だから、
\[
k[x^{k}] W(x)=[x^{k-1}] \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-(k))^{i}}{i!}x^{i} = \frac{(-(k))^{k-1}}{(k-1)!}
\]

だから、
\[
[x^{k}]W(x) = \frac{(-(k))^{k-1}}{k(k-1)!} = \frac{(-k)^{k-1}}{k!}
\]

ここでk=0の場合は係数も0になることに注意してね。これは、
\[
W(0)e^{W(0)} = 0
\]
から言えるし、そうでないとそもそもLITを適用できないんだったね。

具体的に展開すると、
\[
W(x) = x - x^{2} + \frac{3}{2} x^{3} - \frac{8}{3} x^{4} + \cdots
\]

じゃあ、またね。

参考