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2019年5月14日火曜日

Mixture distribution - Wikipedia

Mixture distribution - Wikipedia

混合分布

ウィキペディアから、無料の百科事典

混合モデル(Mixture Model)と複合確率分布(Compound probability distribution)も参照してください。

確率論と統計学において、混合分布とは、一連の確率変数から以下のような方法で構成される確率変数の従う確率分布のことです。まず、一連の確率変数からランダムに所与の確率で一つの確率変数が選択されます。次に、その選択された確率変数の値が実現されます。基礎となる確率変数は、ランダムな実数、またはランダムなベクトル(それぞれが同じ次元を持つ)である場合があり、後者の場合は混合分布は多変量分布になります。

基礎となる確率変数のそれぞれが連続的である場合、結果の変数も連続的となり、その確率密度関数は混合密度と呼ばれることがあります。累積分布関数(そして、存在する場合は、確率密度関数)は、他の分布関数と密度関数の凸結合(すなわち、合計1の非負の重みを有する加重和)として表現することができます。混合分布を構成する要素として組み合わされる個々の分布は混合成分と呼ばれ、各成分に関連付けられた確率(または重み)は混合ウェイトと呼ばれます。混合分布における成分の数は有限と制限されていることが多いですが、場合によっては成分は可算無限大のこともあります。より一般的な場合(すなわち、非加算の構成要素分布の集合)、および可算の場合は、複合分布という名称の下で扱われます。

2019年5月8日水曜日

Gaussの逆問題(その2)

Gaussの逆問題(その1)からの続きです。

前回は次のような関数方程式が得られるところまでやりました。

\[
g((n-1)y) = -(n-1)g(-y)
\tag{1}
\]

Gaussの逆問題(その1)


今日は、正規分布の魅力の一つを紹介します。ガウス(K. F. Gauss, 1777-1855)の逆問題です。

*  *  *

ある値(母数)についての観測値が幾つか得られたとします。この観測値は、次のようにして生成されたと考えます。

観測値 =母数+誤差

この誤差はある確率分布に従っているとします。では、観測値の算術平均がこの母数の最尤推定量になるためには、誤差の従う確率分布はどのようなものでなければならないでしょうか?

*  *  *

これについて、以下の文献を参考にまとめてみます。

【参考文献】
竹内啓・大橋靖雄、「統計的推測―2標本問題」、日本評論社、1981、pp.62-64

両側ラプラス変換 - Wikipedia

両側ラプラス変換 - Wikipedia

以前、積率母関数(積率母関数とラプラス変換)について書きましたが、そのとき両側ラプラス変換について説明しました。今日は、両側ラプラス変換と片側ラプラス変換の違いについて考えます。

両側ラプラス変換はこんな式で定義されています。

\[
B\left[ f(x) \right](s) = \int^{\infty}_{-\infty} e^{-sx}f(x)dx
\]

両側ラプラス変換公式集


前に両側ラプラス変換と片側ラプラス変換の違いについて説明しましたが、その時は微分の変換式だけ見ました。今回はそれ以外のところもまとめてみます。